Convergence quantitative à la quasi-stationnarité

Résumé

Considérons un processus de Markov sur un ensemble fini qui contient un point absorbant. Sous l'hypothèse qu'en dehors de ce point le processus soit irréductible, la loi du processus à un instant donné conditionnée par la non-absorption, converge en temps grand vers une distribution quasi-stationnaire. La vitesse de convergence correspondante n'a pas reçu une attention aussi importante que l'étude quantitative de la relaxation à l'équilibre des processus ergodiques. On verra toutefois comment il est possible de s'y ramener par le biais d'estimées sur le premier vecteur propre de Dirichlet, ce qui permet notamment de réutiliser tout un arsenal d'inégalités fonctionnelles. Ceci sera illustré sur des exemples simples de processus de vie et de mort absorbés en 0, qui mettent en évidence la compétition entre la vitesse d'absorption et celle de convergence à la quasi-stationnarité. Cet exposé est issu d'un travail en collaboration avec Persi Diaconis (Stanford).