Caractérisation de type Hamilton Jacobi de la valeur limite d'un problème de contrôle en temps long

Résumé

En contrôle optimal où le coût est une moyennisation d'un critère intégral donné, la question de l'existence d'une limite quand le paramètre de moyennisation converge est une question très souvent étudiée. Cela permet en particulier de modéliser des phénomènes en temps long où l'influence des actions des contrôleur en temps petit peut être considérée comme négligeable. Un cas très connu dans la littérature est le cas du contrôle ergodique où la valeur limite est une constante qui ne dépend pas de la condition initiale du système contrôlé. Dans ce cas cette constante s'avère être l'unique constante telle qu'une certaine équation d'Hamilton Jacobi a une solution (cela est très lié à des questions de théorie KAM faible). Dans cette exposé nous montrons qu'en l'absence de condition d'ergodicité on peut souvent obtenir l'existence d'une valeur limite ( qui peut dépendre de la condition initiale) et nous donnons des caractérisations de cette limite par un système d'équations d'Hamilton Jacobi.